У світі математики є числа, які поводяться майже як герої казки — варто змінити найменшу деталь, і вони миттєво «втрачають магію». Саме такими є так звані цифрово крихкі прості числа — і нещодавно математики описали їхній ще більш екзотичний різновид.
Дослідники з Університету Південної Кароліни довели існування нового класу чисел, які отримали назву широко цифрово крихкі прості числа. Їхні властивості звучать майже парадоксально: це прості числа, які стають складеними, якщо змінити будь-яку цифру — навіть ту, що стоїть попереду у вигляді нуля.
Що таке «цифрово крихке» просте число?
Нагадаємо: просте число — це натуральне число, яке ділиться лише на одиницю та саме на себе. Наприклад, 101 — просте.
Але якщо змінити будь-яку цифру в 101, результат уже не буде простим:
- 201 ділиться на 3,
- 102 також ділиться на 3,
- 111 теж кратне 3.
Тобто 101 — приклад цифрово крихкого простого числа: будь-яка зміна цифри руйнує його «простоту». Такі числа відомі математикам уже кілька десятиліть. Але нове дослідження пішло далі.
Нулі, які змінюють усе
Математики Майкл Філасета та його колишній аспірант Джеремая Саутвік розширили поняття крихкості. Вони запропонували розглядати прості числа з доданими попереду нулями.
Наприклад:
- 101
- 000101
- 000000101
З математичної точки зору це те саме число. Нулі попереду не змінюють значення. Але якщо дозволити змінювати і ці нулі — ситуація стає складнішою.
Скажімо, якщо перетворити 000101 на 100101, отримаємо число, яке ділиться на 3 — тобто складене. Ідея полягає в тому, що для широко цифрово крихкого простого числа будь-яка зміна будь-якої цифри — навіть одного з цих «декоративних» нулів — має зруйнувати його простоту.
Парадокс: вони існують, але ми їх не бачимо
Дослідники перевірили всі прості числа до мільярда, додаючи попереду нулі й тестуючи всі можливі зміни цифр. Жодного конкретного прикладу широко цифрово крихкого простого числа знайти не вдалося.
І все ж вони довели, що такі числа існують — і їх нескінченно багато. Це один із тих випадків у математиці, коли існування об’єкта можна строго довести, навіть якщо ми не можемо показати жодного конкретного прикладу. Результати опубліковані в журналі Mathematics of Computation.
Як це доводять?
Доказ ґрунтується на глибоких методах теорії чисел. У спрощеному вигляді логіка нагадує розширену версію правил подільності. Числа групують у величезну кількість «кошиків» за певними властивостями — наприклад, за цифровими шаблонами або арифметичними ознаками. У новому дослідженні таких «кошиків» потрібно понад мільйон.
І в одному з них гарантовано містяться прості числа, які втрачають простоту при будь-якій зміні цифри — навіть якщо ця цифра була нулем попереду.
Навіщо це потрібно?
Це дослідження не має прямого прикладного застосування. Воно не створює нових алгоритмів шифрування і не прискорює обчислення. Але воно розширює межі нашого розуміння чисел.
Теорія чисел часто розвивається саме так — через дослідження граничних випадків і екзотичних властивостей. Кожне таке відкриття відкриває нові запитання:
- А що буде, якщо не змінювати цифру, а вставити нову?
- А якщо видалити одну?
- А якщо працювати в іншій системі числення — наприклад, двійковій?
Можливості — буквально безмежні.
Крихка нескінченність
Широко цифрово крихкі прості числа — це приклад того, як навіть у добре знайомому світі натуральних чисел ховаються неймовірно складні структури.
Ми звикли думати, що прості числа — це «цеглинки» математики. Але виявляється, деякі з них настільки чутливі, що одна-єдина зміна цифри руйнує всю конструкцію. І хоча ми поки не можемо вказати на конкретний приклад такого числа, математика переконливо доводить: вони десь є. І їх нескінченно багато.