Теорема Котельникова

В 1933 году В.А. Котельниковым доказана теорема отсчетов [6, 32], имеющая важное значение в теории связи: непрерывный сигнал   с ограниченным спектром можно точно восстановить (интерполировать) по его отсчетам , взятым через интервалы , где  – верхняя частота спектра сигнала.

В соответствии с этой теоремой сигнал можно представить рядом Котельникова [6, 32]:

(1.21)

Таким образом, сигнал , можно абсолютно точно представить с помощью последовательности отсчетов , заданных в дискретных точках (рис.1.16).

Функции   (1.22)

 

образуют ортогональный базис в пространстве сигналов, характеризующихся ограниченным спектром:

при . (1.23)

Обычно для реальных сигналов можно указать диапазон частот, в пределах которого сосредоточена основная часть его энергии и которым определяется ширина спектра сигнала. В ряде случаев спектр сознательно сокращают. Это обусловлено тем, что аппаратура и линия связи должны иметь минимальную полосу частот. Сокращение спектра выполняют, исходя из допустимых искажений сигнала. Например, при телефонной связи хорошая разборчивость речи и узнаваемость абонента обеспечиваются при передаче сигналов в полосе частот . Увеличение приводит к неоправданному усложнению аппаратуры и повышению затрат. Для передачи телевизионного изображения при стандарте в 625 строк полоса частот, занимаемая сигналом, составляет около 6 МГц.

Из вышесказанного следует, что процессы с ограниченными спектрами могут служить адекватными математическими моделями многих реальных сигналов.

Функция вида  называется функцией отсчетов (рис.1.17).

 

Она характеризуется следующими свойствами. Если , функция отсчетов имеет максимальное значение при , а в моменты времени () она обращается в нуль; ширина главного лепестка функции отсчетов на нулевом уровне равна , поэтому минимальная длительность импульса, который может существовать на выходе линейной системы с полосой пропускания , равна ; функции отсчетов ортогональны на бесконечном интервале времени.

На основании теоремы Котельникова может быть предложен следующий способ дискретной передачи непрерывных сигналов:

Для передачи непрерывного сигнала  по каналу связи с полосой пропускания определим мгновенные значения сигнала в дискретные моменты времени , (). После этого передадим эти значения по каналу связи каким – либо из возможных способов и восстановим на приемной стороне переданные отсчеты. Для преобразования потока импульсных отсчетов в непрерывную функцию пропустим их через идеальный ФНЧ с граничной частотой .

 

Можно показать, что энергия сигнала находится по формуле [6, 32]:

.(1.24)

Для сигнала, ограниченного во времени, выражение (1.24) преобразуется к виду:

.(1.25)

 

Выражение (1.25) широко применяется в теории помехоустойчивого приема сигналов, но является приближенным, т.к. сигналы не могут быть  одновременно ограничены по частоте и времени.