By 
Дослідники довели, використовуючи новий підхід, що початкове розв’язання знаменитої задачі на розсічення від Дьюдені справді є оптимальним.
У 1907 році англійський письменник і математик Генрі Ернест Дьюдені поставив захопливу задачу: чи можна розрізати рівносторонній трикутник на найменшу можливу кількість частин, щоб з них утворити ідеальний квадрат? Всього через чотири тижні він представив елегантне рішення, довівши, що достатньо лише чотирьох частин. Такий метод розрізання фігури на частини і перетворення їх на іншу фігуру називається розсіченням. Головний виклик у задачах розсічення— це мінімізація кількості частин, необхідних для перетворення одного багатокутника на інший. Ця проблема століттями захоплювала математиків, любителів головоломок та дослідників.
Задача Дьюдені та її значення
Задача Дьюдені залишається одним із найвідоміших прикладів геометричного розсічення. Окрім математичної привабливості, такі задачі мають практичні застосування у текстильній промисловості, інженерії та виробництві. Але навіть через понад 120 років після розв’язку Дьюдені залишається питання: чи можна виконати розсічення менш ніж на чотири частини?
Проривний математичний доказ
У новаторському дослідженні професор Рюхей Уехара та доцент Тонан Камата з Японського інституту передових наук і технологій (JAIST) разом із професором Еріком Д. Дімейном з Массачусетського технологічного інституту нарешті відповіли на це питання. Вони довели, що початковий розв’язок Дьюдені є оптимальним.
«Через понад століття ми остаточно розв’язали задачу Дьюдені, довівши, що рівносторонній трикутник і квадрат не мають спільного розсічення з трьома або менше багатокутними частинами»,— пояснює професор Уехара. «Ми досягли цього, використовуючи нову методику доведення, яка базується на діаграмах відповідності».
Їхнє дослідження було опубліковане у відкритому доступі на платформі arXiv 5 грудня 2024 року та представлено на 23-му LA/EATCS-Japan Workshop з теоретичної інформатики у січні 2025 року.
Початкове рішення Дьюдені підтверджено
У своєму дослідженні вчені довели ключову теорему: не існує розсічення між рівностороннім трикутником і квадратом з трьома або менше частинами, якщо частини не можна перевертати. Оскільки рішення Дьюдені також не передбачало перевертання, його оптимальність підтверджено.
Спершу дослідники виключили можливість розсічення на дві частини, проаналізувавши геометричні обмеження задачі. Далі вони систематично досліджували ймовірність розсічення на три частини. Використовуючи основні властивості розсічення, вони звели кількість можливих варіантів тричастинного розсічення до кількох комбінацій. Зрештою, застосовуючи метод діаграм відповідності, вони довели, що жодна з цих комбінацій не є можливою. Це остаточно підтвердило, що розсічення між квадратом і трикутником неможливе з трьома або менше частинами.
Діаграми відповідності: ключ до доведення
Метод діаграм відповідності відіграв центральну роль у доведенні. Він дозволяє представити набір частин у вигляді графа, який відображає зв’язки між їхніми гранями та вершинами, що формують як трикутник, так і квадрат. Вчені виявили, що цей метод не лише ефективний для задачі Дьюдені, а й може бути застосований до інших задач розсічення.
«Проблема розрізання та перекладання фігур існує ще з часів, коли люди почали обробляти шкури тварин для виготовлення одягу. Подібні задачі виникають у будь-яких сферах, де працюють із тонкими матеріалами»,— зазначає професор Уехара. «Наше доведення відкриває нові горизонти у розумінні й розв’язанні задач розсічення».
Новий підхід до оптимальних рішень
Багато задач розсічення розв’язувалися шляхом знаходження певної кількості частин, але жодного разу не було формального доведення, що конкретний розв’язок є оптимальним. Методика, розроблена у цьому дослідженні, стала першою, яка дозволяє довести оптимальність розсічення.
«Наш метод доводить, що оптимальне розсічення можливе для реальних завдань розрізання та перекладання. З подальшим удосконаленням ця техніка може призвести до відкриття абсолютно нових розв’язків у задачах розсічення»,— підсумовує професор Уехара.
Comments