Розв’язання однієї з найстаріших алгебраїчних задач — непогане досягнення, і тепер Норман Вайлдбергер може цим похизуватися: математик вирішив так звані многочленні рівняння вищих ступенів, які ставили в глухий кут експертів майже 200 років. Вайлдбергер з Університету Нового Південного Уельсу (UNSW) в Австралії співпрацював з фахівцем з комп’ютерних наук Діном Рубайном над науковою працею, у якій описується, як можна розв’язати ці надзвичайно складні обчислення.
«Це радикальний перегляд базового розділу алгебри», — каже Вайлдбергер. «Наше розв’язання знову відкриває розділ математики, який вважався завершеним».
Підрахунок фігур у багатокутниках
Як і можна очікувати, зрозуміти це нелегко, якщо ви не геній у сфері алгебри. У загальному сенсі, многочлени — це рівняння, які містять змінні, піднесені до невід’ємних степенів (наприклад x³). Коли ці степені дорівнюють п’яти або більше, маємо справу з рівняннями вищих ступенів. Математики навчилися розв’язувати многочлени нижчих ступенів, але вважалося, що для вищих ступенів знайти точний розв’язок неможливо. До нового дослідження ми користувалися лише наближеними методами.
Вайлдбергер і Рубайн застосували новий підхід, заснований на числах Каталана. Ці числа використовуються у складному підрахунку комбінацій та впорядкувань, зокрема — у підрахунку способів розбиття багатокутників на трикутники.
Розширивши ідею чисел Каталана, дослідники показали, що їх можна використати як основу для розв’язання многочленів будь-якого ступеня. Частина новизни методу — у розширенні підрахунку фігур і на інші, окрім трикутників. Це відхід від традиційного методу використання радикальних виразів (як-от квадратних чи кубічних коренів) для розв’язання таких рівнянь. Замість цього застосовується комбінаторика — фундаментальний підрахунок чисел, але на дедалі складніших рівнях.
«Числа Каталана мають тісний зв’язок з квадратним рівнянням», — зазначає Вайлдбергер.
«Наша інновація полягає в тому, що для розв’язання рівнянь вищого ступеня слід шукати вищі аналоги чисел Каталана».
Дослідники випробували свою нову алгебру на відомих многочленних рівняннях, зокрема на знаменитому кубічному рівнянні, яке вивчав Джон Волліс. Обчислення підтвердили правильність підходу. Але на цьому Вайлдбергер і Рубайн не зупинилися. Вони також відкрили нову математичну структуру під назвою Geode, яка пов’язана з числами Каталана і, здається, слугує для них основою. Дослідники припускають, що ця структура може стати базою для майбутніх досліджень і відкриттів.
Оскільки новий підхід суттєво відрізняється від традиційних, він відкриває можливість переосмислення багатьох ключових ідей, на яких досі базувалися математичні алгоритми, структура даних і навіть теорія ігор. Це може мати застосування і в біології — наприклад, для підрахунку складань РНК-молекул.
«Це ключовий тип обчислень для прикладної математики, тож маємо шанс удосконалити алгоритми в найрізноманітніших галузях», — говорить Вайлдбергер.
Дослідження опубліковано в журналі The American Mathematical Monthly.