В 1933 году В.А. Котельниковым доказана теорема отсчетов [6, 32], имеющая важное значение в теории связи: непрерывный сигнал
В соответствии с этой теоремой сигнал
Таким образом, сигнал
Функции
образуют ортогональный базис в пространстве сигналов, характеризующихся ограниченным спектром:
Обычно для реальных сигналов можно указать диапазон частот, в пределах которого сосредоточена основная часть его энергии и которым определяется ширина спектра сигнала. В ряде случаев спектр сознательно сокращают. Это обусловлено тем, что аппаратура и линия связи должны иметь минимальную полосу частот. Сокращение спектра выполняют, исходя из допустимых искажений сигнала. Например, при телефонной связи хорошая разборчивость речи и узнаваемость абонента обеспечиваются при передаче сигналов в полосе частот
Из вышесказанного следует, что процессы с ограниченными спектрами могут служить адекватными математическими моделями многих реальных сигналов.
Функция вида
На основании теоремы Котельникова может быть предложен следующий способ дискретной передачи непрерывных сигналов:
Для передачи непрерывного сигнала
Можно показать, что энергия сигнала находится по формуле [6, 32]:
.
Для сигнала, ограниченного во времени, выражение (1.24) преобразуется к виду:
.
Выражение (1.25) широко применяется в теории помехоустойчивого приема сигналов, но является приближенным, т.к. сигналы не могут быть одновременно ограничены по частоте и времени.
Теорема Котельникова: 3 комментария