Коли ви дивитесь на навколишнє середовище, може здатися, що ви живете на рівній площині. Зрештою, саме тому ви можете орієнтуватися в новому місті за допомогою карти: плоского аркуша паперу, який представляє всі місця навколо вас. Ймовірно, тому деякі люди в минулому вважали Землю плоскою. Але більшість людей тепер знають, що це далеко від істини. Ви живете на поверхні гігантської сфери, схожої на пляжний м’яч розміром із Землю з кількома нерівностями. Поверхня сфери та площини є двома можливими двовимірними просторами, тобто ви можете рухатися у двох напрямках: на північ і південь або на схід і захід.
У яких ще можливих приміщеннях ви можете жити? Тобто, які ще простори навколо вас є 2D? Наприклад, поверхня гігантського пончика є ще одним двовимірним простором. За допомогою поля під назвою геометрична топологія такі математики, як я, вивчають усі можливі простори в усіх вимірах. Незалежно від того, чи намагаєтеся розробити захищені сенсорні мережі, видобути дані чи використовувати оригамі для розгортання супутників, основною мовою та ідеями, ймовірно, буде топологія.
Форма Всесвіту
Коли ви подивіться навколо Всесвіту, в якому ви живете, він виглядає як тривимірний простір, так само як поверхня Землі виглядає як двовимірний простір. Однак, як і Земля, якщо ви подивитеся на Всесвіт у цілому, це може бути складніший простір, як-от гігантська 3D-версія 2D-поверхні для пляжного м’яча або щось ще більш екзотичне, ніж це.
Хоча вам не потрібна топологія, щоб визначити, що ви живете на чомусь на зразок гігантського пляжного м’яча, знання всіх можливих двовимірних просторів може бути корисним. Понад століття тому математики з’ясували всі можливі двовимірні простори та багато їхніх властивостей. За останні кілька десятиліть математики багато чого дізналися про всі можливі тривимірні простори. Хоча ми не маємо повного розуміння, як у двовимірних просторів, ми знаємо багато. Маючи ці знання, фізики й астрономи можуть спробувати визначити, у якому тривимірному просторі насправді живуть люди. Хоча відповідь не повністю відома, існує багато інтригуючих і дивовижних можливостей. Варіанти стають ще складнішими, якщо розглядати час як вимір.
Щоб зрозуміти, як це може працювати, зауважте, що для опису розташування чогось у космосі, скажімо, комети, вам потрібні чотири числа: три для опису її положення та одне для опису часу, протягом якого вона знаходиться в цьому положенні. Ці чотири числа утворюють 4D простір. Тепер ви можете розглянути, які чотиривимірні простори можливі і в якому з цих просторів ви живете.
Топологія у вищих вимірах
На даний момент може здатися, що немає причин розглядати простори, розміри яких перевищують чотири, оскільки це найвищий вимір, який можна уявити, який може описати наш Всесвіт. Але розділ фізики під назвою теорія струн припускає, що Всесвіт має набагато більше вимірів, ніж чотири. Існують також практичні застосування мислення про вищий вимірний простір, наприклад, планування руху робота.
Припустімо, що ви намагаєтеся зрозуміти рух трьох роботів, що рухаються заводським цехом на складі. Ви можете розмістити сітку на підлозі та описати положення кожного робота за їхніми координатами x і y на сітці. Оскільки кожному з трьох роботів потрібні дві координати, вам знадобиться шість чисел, щоб описати всі можливі позиції роботів. Ви можете інтерпретувати можливі позиції роботів як 6D простір.
Зі збільшенням кількості роботів збільшується розмірність простору. Врахування іншої корисної інформації, такої як розташування перешкод, робить простір ще складнішим. Для того, щоб досліджувати цю проблему, необхідно вивчати простори великої розмірності. Існує незліченна кількість інших наукових проблем, пов’язаних із простором великої розмірності, від моделювання руху планет і космічних кораблів до спроби зрозуміти «форму» великих наборів даних.
Зав’язані у вузли
Інший тип проблем, які вивчають топологи, полягає в тому, як один простір може знаходитися всередині іншого. Наприклад, якщо ви тримаєте зав’язану петлю мотузки, тоді ми матимемо 1D простір (петлю струни) всередині 3D простору (ваша кімната). Такі петлі називаються математичними вузлами. Дослідження вузлів спочатку виросло з фізики, але стало центральною областю топології. Вони мають важливе значення для того, як вчені розуміють тривимірні та чотиривимірні простори, і мають чудову та тонку структуру, яку дослідники все ще намагаються зрозуміти.
Крім того, вузли мають багато застосувань, починаючи від теорії струн у фізиці до рекомбінації ДНК у біології та хіральності в хімії.
На якій формі ти живеш?
Геометрична топологія — красивий і складний предмет, і досі є незліченна кількість хвилюючих запитань про простори, на які потрібно відповісти. Наприклад, гладка 4D-гіпотеза Пуанкаре запитує, що таке «найпростіший» закритий 4D-простір, а гіпотеза про зріз-стрічку спрямована на те, щоб зрозуміти, як вузли в 3D-просторах пов’язані з поверхнями в 4D-просторах. Зараз топологія корисна в науці та техніці. Розкриття нових таємниць космосу в усіх вимірах буде неоціненним для розуміння світу, в якому ми живемо, і вирішення проблем реального світу.